Euler's identity

Как известно всем, кто учил (не особенно даже продвинутую) высшую математику,



Это равенство называют "тождество Эйлера". Впрочем, многие предпочитают записывать его так:



- по-видимому, чтобы иметь возможность торжествующе сказать: вот тождество, связывающее пять самых важных математических констант! (Естественно, выражение "самые важные математические константы" - из категории "красное словцо".) Нередко тождество Эйлера называют "самой красивой математической формулой": оно занимало первое место в нескольких опросах, устроенных научно-популяризаторскими журналами. Естественно, в таких контекстах его пишут вторым способом.

Есть легенда о том, что американский математик и философ Бенджамин Пирс (Benjamin Peirce, 1809-80) как-то раз на лекции доказал тождество Эйлера, после чего сказал следующее
Gentlemen, that is surely true, it is absolutely paradoxical; we cannot understand it, and we don't know what it means. But we have proved it, and therefore we know it must be the truth.
Несколько странная фраза, на самом деле. То, что тождество Эйлера следует из определения степени с комплексным показателем, и почему определение именно таково, он наверняка знал. Какого рода объяснение он хотел бы видеть? Есть довольно простая интерпретация на уровне графического истолкования умножения комплексных чисел (см. в любой википедии) - учитывая его интерес к этому тождеству, удивительно, что он её не знал, или не придумал сам.

O его интересе к тождеству Эйлера свидетельствует не только вышеупомянутый эпизод. То, о чём я напишу дальше, проще всего интерпретировать следующим образом: Пирс был настолько в восторге от тождества Эйлера, что пытался найти способ записать его ещё более красивым способом. Прежде всего, он решил ввести новые обозначения дла констант e и π: ( Read more... )