комплексные корни квадратного уравнения

[utnapishti]

Я тут на старости лет узнал, что существует визуальная интерпретация (или, как говорили в школе, "графический способ решения") корней квадратного уравнения f(x)=ax²+bx+c=0 в том случае, когда эти корни не-действительные (иначе говоря, отрицательный дискриминант; иначе говоря, график функции f(x) не пересекает ось x).

Способ такой:



– Рисуем параболу, график f(x).
– Отражаем эту параболу вертикально, относительно её вершины. Получаем другую параболу.
– Новая (отражённая) парабола пересекает ось x. Отмечаем точки пересечения: A и B. Соединяем их отрезком. (Отрезок – синий на рисунке.)
– Прокручиваем этот отрезок на 90 градусов относительно его середины. (Новый отрезок – красный на рисунке.)
– Интерпретируем координаты концов прокрученного отрезка как комплексные числа (т.е. интерпретируем точку (x,y) как комплексное число x+yi).
(Или можно посмотреть на окружность с диаметром AB, тогда концы её вертикального диаметра дадут нужные нам точки.)
– Эти комплексные числа и будут корнями f(x).

Объяснить, почему это работает, можно на разном уровне. Вот объяснение, несколко более осмысленное, чем "так получается по формулам":
утверждение "числа p+s и p-s являются корнями a(x-p)² - q" эквивалентно утверждению "числа p+si и p-si являются корнями a(x-p)² + q".

Но интересно, что эта схема, по-видимому, не очень широко известна. По крайней мере, я её никогда не видел.

Comments

[very-fat-cat.livejournal.com]

Очень интересно. И действительно, совершенно неизвестно. Показала картинку коллегам на работе - два продукта канадской системы образования, разных поколений, одна училась в частной школе, другой в обычной; третий иранец, наш ровесник. Ни один с этим методом не знаком.

[utnapishti.livejournal.com]

Я от детей узнал – им в школе показали.

[spartach.livejournal.com]

Симпатично! Никогда не видел, да. Но показывать ли это средним моим 9-10-классникам, не уверен - порядок в голове вряд ли увеличит.)

[xgrbml.livejournal.com]

Как задачку дать?

[spartach.livejournal.com]

да, объяснить, почему так, выглядит хорошим вопросом.

[xgrbml.livejournal.com]

Вроде что-то в этом духе было в "Волшебном двуроге" С.П.Боброва - но не факт, что именно это.

[xxxxx.livejournal.com]

двурог это тот же родственник единорогу, что русский герб орлу?

[xxxxx.livejournal.com]

ещё можно такую задачу: найти при каких условиях одна из красных точек попадёт ровно на вершину параболы, вроде по непрерывности для любых а и б можно подобрать ц.

[utnapishti.livejournal.com]

В "vertex form" (не знаю, как оно по-русски)

a(x-p)² + 1/a.

А всё потому, что y=ax² пересекается с y=x при x=1/a.

Проверяем, что правильно догадались:

– Вершина (p, 1/a).

– Корни:
a(x-p)² + 1/a = 0
(x-p)² = -1/a²
(x-p) = ± i/a
x = p ± i/a

[utnapishti.livejournal.com]

Oooo! Кажется, в терминах a, b, c это эквивалентно D = -4 !

[xxxxx.livejournal.com]

надо статью тисьнуть в каком-нить «вестнике методиста»

[baohe.livejournal.com]

Здорово.

Не помню, кстати, когда ты последний раз писал про математику. Делаю вывод, что в австрийской политике и этимологии всё "без перемен".

[nu57.livejournal.com]

очень здорово, я не знала

[green-fr.livejournal.com]

Красота, я тоже никогда этого не видел!