utnapishti

Я тут на старости лет узнал, что существует визуальная интерпретация (или, как говорили в школе, "графический способ решения") корней квадратного уравнения f(x)=ax²+bx+c=0 в том случае, когда эти корни не-действительные (иначе говоря, отрицательный дискриминант; иначе говоря, график функции f(x) не пересекает ось x).

Способ такой:

– Рисуем параболу, график f(x).
– Отражаем эту параболу вертикально, относительно её вершины. Получаем другую параболу.
– Новая (отражённая) парабола пересекает ось x. Отмечаем точки пересечения: A и B. Соединяем их отрезком. (Отрезок – синий на рисунке.)
– Прокручиваем этот отрезок на 90 градусов относительно его середины. (Новый отрезок – красный на рисунке.)
– Интерпретируем координаты концов прокрученного отрезка как комплексные числа (т.е. интерпретируем точку (x,y) как комплексное число x+yi).
(Или можно посмотреть на окружность с диаметром AB, тогда концы её вертикального диаметра дадут нужные нам точки.)
– Эти комплексные числа и будут корнями f(x).

Объяснить, почему это работает, можно на разном уровне. Вот объяснение, несколко более осмысленное, чем "так получается по формулам":
утверждение "числа p+s и p-s являются корнями a(x-p)² - q" эквивалентно утверждению "числа p+si и p-si являются корнями a(x-p)² + q".

Но интересно, что эта схема, по-видимому, не очень широко известна. По крайней мере, я её никогда не видел.